Родился 21 сентября 1956 года в Москве в семье сотрудника ЦК КПСС.
В 1979 году окончил МГУ по специальности "экономист-международник". Преподавателем и куратором группы Костина был Сергей Дубинин.
С 1979 по 1982 год работал в Генеральном консульстве СССР в Сиднее (Австралия).
С 1982 по 1985 год работал секретарем в Европейском департаменте МИД СССР.
С 1985 года — сотрудник посольства СССР в Великобритании. В посольстве познакомился со своим будущим партнером Александром Лебедевым.
С 1990 года — первый секретарь, с 1992 года — советник Европейского отдела Министерства иностранных дел РФ.
В 1993 году вместе с Александром Лебедевым создал "Русскую инвестиционно-финансовую компанию" (РИФК) и стал ее президентом. РИФК входила в состав банка "Империал" на правах управления, оставаясь при этом юридическим лицом. В 1993–1994 годах Костин был членом правления банка "Империал".
С 1994 по 1996 год — первый заместитель председателя правления Национального резервного банка.
В октябре 1996 года указом президента назначен председателем Внешэкономбанка СССР. Кандидатура Костина была представлена председателем Центрального банка РФ Сергеем Дубининым.
С 1997 года — член Совета движения "Наш дом — Россия".
В мае 2000 года был избран Политсовета партии "Единство".
С июня 2002 года — председатель правления Внешторгбанка.
В январе 2003 года был избран членом бюро правления Российского союза промышленников и предпринимателей (работодателей) (РСПП).
Неоднократно в составе делегаций РФ принимал участие в различных переговорах по проблемам внешнего долга СССР и России.
Владеет английским языком.
Любит театр, живопись, музыку, особенно классическую. Увлекается горными лыжами.
Женат. Имеет сына.